stay homeとstay at homeはどちらも「家にいる」という意味で使われますが、微妙なニュアンスの違いがあります。
一般的に、stay homeはhomeを副詞として使っており、「家に（家へ）」という方向や場所を表しています。stay at homeはhomeを名詞として使っており、「家」という具体的な場所を表しています。
例えば、
I have to stay home today because I’m sick.（今日は病気だから家にいなきゃ）
She decided to stay at home and watch TV.（彼女は家でテレビを見ることにした）
このように、stay homeは自分の状態や行動に関係する理由を述べるときによく使われます。
stay at homeは自分の選択や計画に関係する理由を述べるときによく使われます。
また、stay at homeは形容詞としても使われます。例えば、
He is a stay-at-home dad.（彼は専業主夫だ）
She runs a stay-at-home business.（彼女は在宅で仕事をしている）
このように、stay-at-homeは「家で働く」や「家庭に専念する」などのライフスタイルを表すときに使われます。
